MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS

Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderosos mecanismos de cálculo diferencial es posible encontrar respuesta a estos problemas, que de otro modo parecería imposible su solución.

Entre los valores q puede tener una función (Y) puede haber uno que sea el más grande y otro que sea el más pequeño. A estos valores se les llama respectivamente punto máximo y punto mínimo absolutos.

Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto crítico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máximo.

Por el contrario, si una función continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos punto crítico mínimo relativo, o simplemente mínimo.

Una función puede tener uno, ninguno o varios puntos críticos.

Curva sin máximos ni mínimos función sin máximos ni mínimos

Función con un máximo curva con un máximo y un mínimo

Curva con un mínimo curva con varios mínimos y máximos

Dada una función vamos a definir intuitivamente sus máximos y sus mínimos.

Una función tiene un máximo relativo  en un punto cuando su imagen (la altura) es mayor que todas las imágenes (alturas) de los puntos que están alrededor.

Una función tiene un mínimo relativo en un punto cuando su imagen (la altura) es menor que todas las imágenes (alturas) de los puntos que están alrededor.

Un máximo se llamará absoluto cuando su imagen es mayor que la imagen de cualquier otro punto de la gráfica (es el más alto de todos) y no sólo de los que está alrededor.

Un mínimo se llamará absoluto cuando su imagen es menor que la imagen de cualquier otro punto de la gráfica (es el más bajo de todos) y no sólo de los que está alrededor.

 

 

 

 

 

DEFINICIÓN

El punto que, en una función continua, separa la parte convexa de la cóncava, se llama punto de inflexión de la función. En ellos la función no es cóncava ni convexa sino que hay cambio de concavidad a convexidad o al revés.

Los puntos de inflexión están caracterizados por:

TEOREMA  

Sea la ecuación de una función. 
Si no existe, y la derivada cambia de signo al pasar por el valor de x=a, entonces, el punto de la función de abscisa x=a es un punto de inflexión.

valores criticos

En cálculo, los valores críticos son los puntos en los que una función tiene los máximos o mínimos
El valor crítico se designa mediante z _α/2 .

P(Z > z_α/2) = α/2     

 P[-z _α/2 < z < z _α/2] = 1 − α

α es rl nivel de significación.

1 − α es el nivel de confianza, que es la probabilidad de que el parámetro a estimar se encuentre en el intervalo de confianza.

Los niveles de confianza más usuales son: 90%; 95% y 99%. 

 

 

 

 

sentido de conectividad

Se dice que una función y ´ = f(x) tiene convexidad hacia arriba en

El intervalo (a, b) si una recta tangente dibujada a la gráfica de la ´

Función en uno de sus puntos a ´ < x < b queda por debajo de la

Función. ´

Si la tangente dibujada queda por arriba de la función decimos que ´

La función presenta concavidad hacia abajo en ese intervalo.

 

 

 

 

 

 

Criterio de la Primera Derivada

Criterio de la primera derivada es el método o teorema utilizado frecuentemente en cálculo  para determinar los mínimos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico.

 

 

 

 

Criterios De La 2 Derivada

El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos.

 

Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es convexa en un intervalo abierto que contiene a c, y f '(c)=0,  f(c) debe ser un mínimo relativo de f. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que contiene a c y f '(c) = 0,  f(c) debe ser un máximo relativo de f.

Sea f una función tal que f '(x) = 0 y la segunda derivada de  f existe en un intervalo abierto que contiene a x

 

Si f ''(x) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (x, f(x)).

 

Si f ''(x) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (x, f(x)).

 

 

 

 

 

Resolucion de maximos y minimos  

 

 

En la resolución de problemas en que se debe determinar el máximo o el mínimo de una cierta expresión, deben seguirse los siguientes pasos:

·         Determinar la magnitud que debe hacerse máxima o mínima, y asignarle una letra.

·         Hacer un dibujo cuando sea necesario.

·         Asignar una letra a las cantidades mencionadas en el problema y escribir una ecuación en la que se establezca lo que se debe hacer máximo o mínimo.

·         Establecer las condiciones auxiliares del problema y formar una ecuación (ecuación auxiliar).

·         Expresar la cantidad que debe maximizarse o minimizarse en términos de una sola variable utilizando para ello la ecuación auxiliar. Determinar el dominio de esta función.

·         Obtener la primera derivada de esta función para determinar los valores críticos.

·         Comprobar, utilizando el criterio de la primera derivada o el de la segunda derivada, si los valores críticos son máximos o mínimos.